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"name": "G: Beispiel für eine Formelsammlung",
"description": "Übungsaufgaben mit Musterlösungen zu einfachen Ableitungen.",
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"subject": "Quotientenregel",
"front": "**Leite die Funktion $$f(x) = \\frac{(x^3+x)\\cdot \\sin(x)}{\\ln(x)}$$ nach der Variablen $x$ ab.**",
"front": "Leite die Funktion $f(x) = \\frac{(x^3 + x)\\cdot\\sin(x)}{\\ln(x)}$ nach der Variablen $x$ ab.",
"back": "!!!\n Sind die Funktionen $u ( x )$ und $v ( x )$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x = x_a$ mit $v ( x_a ) \\ne 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion $f$ mit $$f(x)= \\frac {u(x)}{v(x)}$$ an der Stelle $x_a$ differenzierbar und es gilt: $$f^\\prime(x_a)= \\frac{(u^\\prime(x_a)\\cdot v(x_a) - u(x_a) \\cdot v^\\prime(x_a))}{v(x(a))^2}$$ in Kurzschreibeweise: $$(\\frac uv)^\\prime= \\frac{u^\\prime \\cdot v - u\\cdot v^\\prime}{v² }$$",
"hint": "\nHier wird die Quotientenregel benutzt. Bei der Ableitung des Zählers $(g(x))$ muss die [Produktregel](https://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel) berücksichtigt werden.\n\n\n\n$$f(x) = \\frac{(x^3+x) \\cdot \\sin(x)}{\\ln(x)}$$\n\n$$\\begin{alignat}{2}\ng(x) &= (x³+x) \\cdot \\sin(x) \\Rightarrow g^\\prime(x) = (3x² +1) \\cdot \\sin(x) + (x³ +x) \\cdot \\cos(x) &\\quad& \\text{Ableitung Zähler}\\\\\n\\\\\nh(x) &=\\ln(x) \\Rightarrow h^\\prime(x) = \\frac 1x && \\text{Ableitung Nenner} \\\\\n\\\\\n\\\\\n\\Rightarrow f^\\prime(x) &= \\frac{[(3x²+1) \\cdot \\sin(x) + (x³ +x) \\cdot \\cos(x)] \\cdot \\ln(x) - \\frac 1x\\cdot (x³ +x) \\cdot \\sin(x)}{(\\ln(x))² }\\\\\n&=\\frac{[(3x² +1) \\cdot \\sin(x) + (x³+x) \\cdot \\cos(x)] \\cdot ln(x) - (x^2+1) \\cdot sin(x)}{(\\ln(x))^2}\n\\end{alignat}$$\n\n\n",
"hint": "\nHier wird die Quotientenregel benutzt. Bei der Ableitung des Zählers $(g(x))$ muss die [Produktregel](https://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel) berücksichtigt werden.\n\n$$f(x) = \\frac{(x^3+x) \\cdot \\sin(x)}{\\ln(x)}$$\n\n$$\\begin{alignat}{2}\ng(x) &= (x³+x) \\cdot \\sin(x) \\Rightarrow g^\\prime(x) = (3x² +1) \\cdot \\sin(x) + (x³ +x) \\cdot \\cos(x) &\\quad& \\text{Ableitung Zähler}\\\\\nh(x) &=\\ln(x) \\Rightarrow h^\\prime(x) = \\frac 1x && \\text{Ableitung Nenner}\\\\\n\\Rightarrow f^\\prime(x) &= \\frac{[(3x²+1) \\cdot \\sin(x) + (x³ +x) \\cdot \\cos(x)] \\cdot \\ln(x) - \\frac 1x\\cdot (x³ +x) \\cdot \\sin(x)}{(\\ln(x))² }\\\\\n&=\\frac{[(3x² +1) \\cdot \\sin(x) + (x³+x) \\cdot \\cos(x)] \\cdot ln(x) - (x^2+1) \\cdot sin(x)}{(\\ln(x))^2}\n\\end{alignat}$$\n",
"lecture": "- Seite [Quotientenregel](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Quotientenregel&oldid=178446922). In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 19. Juni 2018, 13:28 UTC. (Abgerufen: 22. September 2018) \n\n- Seite [Produktregel](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Produktregel&oldid=175478922). In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 27. März 2018, 22:41 UTC. (Abgerufen: 14. Oktober 2018)\n\n",
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